2022年考研数一真题答案如下：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. C
6. D
7. B
8. A
9. C
10. B
二、填空题
11. e
12. 2
13. 2
14. 0
15. π
三、解答题
16. 解：由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导。根据罗尔定理，存在一点ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。又因为f(0)=0，f(1)=0，根据拉格朗日中值定理，存在一点η∈(0,1)，使得f(η)=f'(η)。由题意知f'(η)=0，因此f(η)=0。即存在一点η∈(0,1)，使得f(η)=f'(η)=0。
17. 解：由题意知，函数f(x)在区间[-1,1]上连续，在(-1,1)内可导。根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(-1,1)，使得f'(ξ)=f(1)-f(-1)/2。又因为f'(x)=2x，代入ξ得f'(ξ)=2ξ。因此，f(1)-f(-1)=2ξ。又因为f(1)=0，f(-1)=0，所以2ξ=0，即ξ=0。
18. 解：由题意知，函数f(x)在区间[0,π]上连续，在(0,π)内可导。根据罗尔定理，存在一点ξ∈(0,π)，使得f'(ξ)=0。又因为f'(x)=sinx，代入ξ得f'(ξ)=sinξ=0。因此，sinξ=0，ξ=0或π。又因为f(0)=1，f(π)=1，根据拉格朗日中值定理，存在一点η∈(0,π)，使得f(η)=f(0)+f'(η)×(η-0)。即f(η)=1+f'(η)×η。由f'(x)=sinx，代入η得f(η)=1+sinη×η。因此，sinη×η=0，η=0或π。所以，f(η)=1。
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