2011年考研数学二第15题是一道关于线性代数的经典题目。题目如下：
设矩阵A为：
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \]
求矩阵A的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，计算矩阵A的特征多项式：
\[ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
通过行变换，我们可以得到：
\[ \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \xrightarrow{r_2 - 4r_1} \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 6-4\lambda \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix} \]
\[ \xrightarrow{r_3 - 7r_1} \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 6-4\lambda \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \]
接着，对矩阵进行进一步的行变换：
\[ \xrightarrow{r_2 - (6-4\lambda)r_3} \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \]
现在，我们可以看到，当$\lambda = 1$时，特征多项式变为0，因此$\lambda = 1$是一个特征值。接下来，我们需要求对应的特征向量。
对于$\lambda = 1$，解方程组$(A - I)v = 0$，得到特征向量$v_1 = (1, 1, 1)^T$。
对于$\lambda = 2$和$\lambda = 3$，我们分别解方程组$(A - 2I)v = 0$和$(A - 3I)v = 0$，得到对应的特征向量$v_2 = (1, -1, 0)^T$和$v_3 = (1, 0, -1)^T$。
综上所述，矩阵A的特征值为1，2，3，对应的特征向量分别为$v_1 = (1, 1, 1)^T$，$v_2 = (1, -1, 0)^T$，$v_3 = (1, 0, -1)^T$。
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