在2025年考研数学二中，以下是一份可能的答案示例：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 若函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(0) = \boxed{0}$。
2. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^{-1} = \boxed{\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}$。
3. 下列级数中，收敛的是$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \sin n\pi$，故选$\boxed{C}$。
4. 设$y = e^x \sin x$，则$y'$ = $\boxed{e^x(\sin x + \cos x)}$。
5. 若$z = x^2 + y^2$，则$\frac{\partial z}{\partial x} = \boxed{2x}$。
二、填空题（每题5分，共30分）
6. $\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \boxed{0}$。
7. 设$a > 0$，$b > 0$，则$\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{a+b}$，故$\boxed{\sqrt{2}}$是等号成立的条件。
8. $lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \boxed{1}$。
9. 设$y = \ln(x^2 + 1)$，则$y'' = \boxed{\frac{2}{(x^2 + 1)^2}}$。
10. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，若$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A) \leq \boxed{1}$。
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy^2$。
12. 计算行列式$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$。
13. 设$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求$f''(x)$。
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