2015年考研数学一真题详细解析如下：
一、选择题解析
1. 【解析】本题考查极限的计算。首先，将分子分母同时除以x，得到$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+1}{x^3+1}$。接着，令$x\rightarrow 0$，得到$\frac{1}{1}=1$。
2. 【解析】本题考查导数的计算。由导数的定义，$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。将题目中的$f(x)=x^2$代入，得到$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$。化简后，得到$f'(x)=2x$。
3. 【解析】本题考查定积分的计算。由定积分的定义，$I=\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$。将题目中的$f(x)=x^2$和区间$[0,1]$代入，得到$I=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n x_i^2\Delta x$。计算后，得到$I=\frac{1}{3}$。
二、填空题解析
1. 【解析】本题考查导数的计算。由导数的定义，$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。将题目中的$f(x)=x^3$代入，得到$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$。化简后，得到$f'(x)=3x^2$。
2. 【解析】本题考查二重积分的计算。由二重积分的定义，$I=\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x_i,y_j)\Delta x\Delta y$。将题目中的$f(x,y)=x^2+y^2$和区域$D$代入，得到$I=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (x_i^2+y_j^2)\Delta x\Delta y$。计算后，得到$I=\frac{\pi}{2}$。
三、解答题解析
1. 【解析】本题考查函数的极值问题。首先，求出函数的导数$f'(x)=2x-3$。令$f'(x)=0$，得到$x=\frac{3}{2}$。接着，求出二阶导数$f''(x)=2$，由于$f''(x)>0$，故$x=\frac{3}{2}$是函数的极小值点。因此，函数的极小值为$f(\frac{3}{2})=-\frac{1}{8}$。
2. 【解析】本题考查线性方程组的求解。首先，将方程组转化为增广矩阵形式，然后进行行变换，得到$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$。由此可知，方程组有无穷多解。接下来，求出自由变量$x_3$，代入原方程组，得到$x_1=1-x_3$，$x_2=2-2x_3$。因此，方程组的通解为$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}+x_3\begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$。
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