2021年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(1)=\textbf{A. 1}$，$\textbf{B. 2}$，$\textbf{C. 3}$，$\textbf{D. 4}$。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得$f'(1)=1$。
2. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x^2}=\textbf{A. 1}$，$\textbf{B. 2}$，$\textbf{C. 4}$，$\textbf{D. 8}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{x}=2\cdot1\cdot1=2$。
3. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\textbf{A. 0}$，$\textbf{B. 1}$，$\textbf{C. -1}$，$\textbf{D. 2}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\frac{1}{\cos x})}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}$。
二、填空题
1. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(0)=\textbf{0}$。
2. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x^2}=\textbf{2}$。
3. 设$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\textbf{\frac{1}{2}}$。
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$的导数。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$。
2. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$。
解析：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\frac{1}{2}$。
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