在考研数学的征途上，李永乐老师的经典易错题如同指路明灯，帮助无数考生拨开迷雾，认清自我。以下是一些李永乐老师精选的易错题，让你在复习过程中有的放矢：
1. 题目：已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的极限。
错误思路：直接代入$x$的值，得到$\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)=\infty$。
正确思路：通分后，得到$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{2}$。
2. 题目：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的最大值。
错误思路：使用均值不等式，得到$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}=\sqrt{2}$。
正确思路：由柯西不等式，得到$\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2(a+b)}\sqrt{2(a+b)}=2$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时取等。
3. 题目：设$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f(0)=f(1)=0$，求证：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=f(\xi)$。
错误思路：构造辅助函数$F(x)=f(x)e^{-x}$，利用罗尔定理，得到$F'(\xi)=0$，从而得到$f'(\xi)=f(\xi)$。
正确思路：构造辅助函数$F(x)=f(x)e^{-x}$，利用拉格朗日中值定理，得到存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)e^{-\xi}=f'(\xi)-f(\xi)$，即$f'(\xi)=f(\xi)$。
在备考过程中，充分利用李永乐老师的经典易错题，可以帮助你更好地掌握考研数学的难点和重点。祝你在考研路上取得优异成绩！
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