数学一考研真题2024年解析如下：
一、选择题
1. 真题回顾：求解不定积分 $\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2} \, dx$。
2. 解答思路：使用换元法，令 $u = 1 + x^2$，则 $du = 2x \, dx$，从而原积分转化为 $\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} \, du$。
二、填空题
1. 真题回顾：若函数 $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$ 在 $x = 0$ 处可导，求 $f'(0)$。
2. 解答思路：应用导数的定义和洛必达法则，可得 $f'(0) = 1$。
三、解答题
1. 真题回顾：计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的和。
2. 解答思路：采用比值审敛法，先求出级数的收敛半径，然后求和。
四、应用题
1. 真题回顾：已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，求 $\int_0^1 \frac{f(x)}{x} \, dx$ 的最小值。
2. 解答思路：利用积分中值定理，设 $\xi \in (0,1)$，则 $\int_0^1 \frac{f(x)}{x} \, dx = f(\xi) \ln 1 - \ln 0$，注意 $\ln 0$ 趋于负无穷。
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