1987年考研数学二第七题是一道典型的应用题，以下是对该题的详细讲解：
题目描述：某工厂生产一种产品，已知每件产品生产成本为50元，固定成本为10000元。若产品定价为每件100元，则每月可生产并销售100件；若每提高10元，销量减少10件。求利润最大时的产品定价及最大利润。
解题步骤：
1. 设产品定价为x元，则每件产品的利润为x - 50元。
2. 根据题意，当定价为100元时，销量为100件；定价每增加10元，销量减少10件。因此，销量y与定价x的关系可以表示为：y = 200 - x。
3. 利润P可以表示为每件产品的利润乘以销量，即P = (x - 50) * (200 - x)。
4. 展开上述表达式，得到P = -x^2 + 250x - 10000。
5. 这是一个关于x的二次函数，开口向下，其顶点即为利润的最大值。二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，其中a是x^2的系数，b是x的系数。
6. 在此题中，a = -1，b = 250，代入公式得到x = -250/(2 * -1) = 125。
7. 将x = 125代入利润表达式，得到最大利润P = -(125)^2 + 250 * 125 - 10000 = 15625 - 10000 = 5625元。
因此，利润最大时的产品定价为125元，最大利润为5625元。
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