考研数学中的定义题通常要求考生理解并掌握某个数学概念的定义，然后能够运用这个定义来解决具体的问题。以下是一些常见的考研数学定义题类型及其解答示例：
1. 极限定义题：
- 题目：证明当 \(x\) 趋向于 0 时，函数 \(f(x) = \frac{\sin x}{x}\) 的极限是 1。
- 解答：根据极限的定义，对于任意给定的正数 \( \epsilon \)，需要找到一个正数 \( \delta \)，使得当 \(0 < |x - 0| < \delta\) 时，有 \(\left|\frac{\sin x}{x} - 1\right| < \epsilon\)。通过分析三角函数的性质和三角不等式，我们可以找到合适的 \( \delta \)。
2. 导数定义题：
- 题目：利用导数的定义证明函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的导数为 4。
- 解答：根据导数的定义，\(f'(x)\) 是极限 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) 的值。通过代入 \(f(x) = x^2\) 和 \(x = 2\)，计算并简化表达式，最终得到 \(f'(2) = 4\)。
3. 积分定义题：
- 题目：证明定积分 \(\int_0^1 x^2 \, dx\) 等于 \(\frac{1}{3}\)。
- 解答：根据定积分的定义，可以将区间 \([0, 1]\) 分成许多小段，每段的长度为 \( \Delta x \)，并计算每个小矩形面积的总和。随着 \( \Delta x \) 趋向于 0，这个总和趋向于定积分的值。通过计算和取极限，得到 \(\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\)。
4. 级数定义题：
- 题目：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。
- 解答：使用级数的比较测试，比较该级数与已知收敛的级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 进行比较。由于 \(\frac{1}{n^2}\) 的项随着 \(n\) 的增大而减小，并且趋于 0，因此根据比较测试，该级数收敛。
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