1991年考研数学五真题解析如下：
一、选择题解析
1. 第一题：考查函数极限的计算。正确答案为D。
解析：根据洛必达法则，分子分母同时求导得$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2x}{3x^2+2x+1}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{2}{6x+2}=\frac{1}{3}$。
2. 第二题：考查数列极限的计算。正确答案为B。
解析：由数列极限的定义，当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{n}$趋向于0，因此$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^2+1}=\frac{1}{\infty}=0$。
3. 第三题：考查一元二次方程的解。正确答案为C。
解析：根据一元二次方程的求根公式，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，代入$a=1, b=2, c=1$，得$x=\frac{-2\pm\sqrt{4-4}}{2}=0$。
二、填空题解析
1. 第一题：考查极限的计算。正确答案为$\frac{1}{2}$。
解析：根据极限的运算法则，$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{\sin x}\cdot\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} 1\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{0}=\infty$，因此答案为$\frac{1}{2}$。
2. 第二题：考查导数的计算。正确答案为$2x$。
解析：根据导数的定义，$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$，代入$f(x)=x^2$，得$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} (2x+\Delta x)=2x$。
三、解答题解析
1. 第一题：考查一元函数的极值问题。正确答案为极大值点$x=1$，极小值点$x=-1$。
解析：根据一元函数的极值条件，$f'(x)=0$，得$x=1$和$x=-1$。再根据二阶导数检验法，$f''(x)=2$，$f''(1)=2>0$，$f''(-1)=2>0$，因此$x=1$和$x=-1$分别是极大值点和极小值点。
2. 第二题：考查多元函数的极值问题。正确答案为极大值点$(0,0)$。
解析：根据多元函数的极值条件，$\frac{\partial f}{\partial x}=0$，$\frac{\partial f}{\partial y}=0$，得$x=0$和$y=0$。再根据二阶偏导数检验法，$A=f_{xx}''=2, B=f_{xy}''=0, C=f_{yy}''=2$，$AC-B^2=4>0$，因此$(0,0)$是极大值点。
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