2024年考研数学二真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10题，共50分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，则$f'(x)$的值为：
A. $-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
B. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
C. $-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
D. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
2. 若$\lim_{x\to 0} \frac{x^2 - \sin x}{x - \cos x} = 2$，则$\lim_{x\to 0} \frac{x^3 - \cos x}{x^2 - \sin x}$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每题5分，共10题，共50分）
3. 设$y = \ln(\sin x)$，则$y'$的表达式为______。
4. 二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + 4y' + 4y = 0$的通解为______。
三、解答题（共100分）
5. （10分）求函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$的极值。
6. （15分）设$z = e^{xy}$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
7. （20分）计算积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} dx$。
8. （25分）证明：若$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) = f(b)$，则存在$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。
四、附加题（20分）
9. （10分）求曲线$y = x^2 - 2x + 3$在点$(1, 2)$处的切线方程。
10. （10分）设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^3$。
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