张宇考研数学《高等数学》核心难点深度解析

在考研数学的备考过程中，高等数学部分一直是考生们最为头疼的领域之一。张宇老师的视频课程以其独特的教学风格和深入浅出的讲解方式，帮助无数考生攻克了这一难关。本栏目精选张宇老师视频完整版中的常见问题，进行系统性解答，旨在帮助考生们更全面地理解知识点，掌握解题技巧。以下内容涵盖了张宇老师课程中的重点难点，结合具体案例和详细解析，力求让考生们真正做到学有所获。

问题一：定积分的换元积分法如何正确应用？

定积分的换元积分法是考研数学中的重点内容，也是很多考生容易混淆的知识点。张宇老师在讲解这部分内容时，特别强调了换元法的适用条件和具体步骤。我们需要明确换元法的适用范围，即被积函数在某区间上连续且可导。在具体操作时，要注意以下几个关键点：

• 换元的同时要改变积分上下限，确保积分区间与原变量保持一致。
• 新变量要满足积分区间的要求，避免出现积分区间为负数的情况。
• 换元后要重新计算被积函数，确保其在新变量下的表达式正确。

举个例子，比如计算定积分∫₀¹sin(x2)dx，我们可以采用三角换元法，令x=sin(t)，则dx=cos(t)dt。此时积分上下限需要从0到π/2进行转换。换元后，原积分变为∫₀^π/2sin2(t)cos(t)dt。接下来，我们可以使用二倍角公式sin2(t)=1-cos2(t)，进一步简化积分表达式。最终，通过积分计算，我们得到原定积分的值为(1/6)π。这个例子充分展示了换元积分法的应用技巧和注意事项。

问题二：级数收敛性的判别方法有哪些？

级数收敛性的判别是考研数学中的另一大难点，张宇老师在课程中详细介绍了多种判别方法，帮助考生们灵活应对各种题型。常见的级数收敛性判别方法包括比值判别法、根值判别法、比较判别法以及积分判别法等。每种方法都有其适用范围和局限性，考生们需要根据具体问题选择合适的判别方法。

以比值判别法为例，该方法适用于正项级数，通过计算相邻项的比值极限来判断级数的收敛性。具体来说，如果lim(n→∞)(a_n+1/a_n)=λ，那么当λ<1时级数收敛，λ>1时级数发散，λ=1时判别法失效。再比如比较判别法，则需要找到一个已知收敛性或发散性的级数作为比较对象，通过比较被积函数的大小关系来判断原级数的收敛性。这些方法在实际应用中往往需要结合使用，考生们需要通过大量练习来掌握其技巧和规律。

问题三：微分方程的求解技巧有哪些？

微分方程是考研数学中的另一大难点，张宇老师在课程中详细介绍了多种微分方程的求解技巧，帮助考生们灵活应对各种题型。常见的微分方程包括一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程以及可降阶的高阶微分方程等。每种微分方程都有其特定的求解方法，考生们需要根据具体问题选择合适的求解方法。

以一阶线性微分方程为例，其标准形式为dy/dx+P(x)y=Q(x)。求解这类方程时，通常需要使用积分因子法，即令μ(x)=e∫P(x)dx，然后将原方程两边乘以积分因子，转化为全微分方程，进而求解。再比如二阶常系数线性微分方程，其标准形式为ay''+by'+cy=0。求解这类方程时，通常需要先求出特征方程的根，然后根据根的情况写出通解。这些方法在实际应用中往往需要结合使用，考生们需要通过大量练习来掌握其技巧和规律。