2019年考研数学一真题及答案如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=0$
D. $x=\frac{1}{2}$
答案：A
2. 设$f(x) = \ln(x+1)$，则$f(x)$的导数为：
A. $\frac{1}{x+1}$
B. $\frac{1}{x}$
C. $\frac{1}{x-1}$
D. $\frac{1}{x^2+1}$
答案：A
3. 设$a>0$，$b>0$，则下列不等式成立的是：
A. $a^2+b^2 \geq 2ab$
B. $a^3+b^3 \geq 2ab(a+b)$
C. $a^4+b^4 \geq 2a^2b^2$
D. $a^5+b^5 \geq 2a^3b^2$
答案：C
4. 设$A$是$n$阶方阵，$|A|=0$，则下列结论正确的是：
A. $A$的列向量线性相关
B. $A$的行向量线性相关
C. $A$的行列式不为0
D. $A$的逆矩阵存在
答案：A
5. 设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f(x)$在$x=0$处的极限为：
A. 0
B. 1
C. 无穷大
D. 无定义
答案：C
6. 设$A$是$n$阶方阵，$|A|=0$，则下列结论正确的是：
A. $A$的列向量线性无关
B. $A$的行向量线性无关
C. $A$的行列式不为0
D. $A$的逆矩阵存在
答案：B
7. 设$f(x) = e^x$，则$f(x)$在$x=0$处的导数为：
A. 1
B. 0
C. 无穷大
D. 无定义
答案：A
8. 设$f(x) = \ln(x^2+1)$，则$f(x)$的导数为：
A. $\frac{2x}{x^2+1}$
B. $\frac{2}{x^2+1}$
C. $\frac{2x^2}{x^2+1}$
D. $\frac{2}{x^2+1}$
答案：A
9. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(x)$在$x=0$处的二阶导数为：
A. 6
B. -6
C. 0
D. 无定义
答案：A
10. 设$f(x) = e^x$，则$f(x)$在$x=0$处的导数为：
A. 1
B. 0
C. 无穷大
D. 无定义
答案：A
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
11. 设$f(x) = \ln(x+1)$，则$f'(x) = \frac{1}{x+1}$。
12. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f''(x) = 6$。
13. 设$a>0$，$b>0$，则$(a+b)^3 \geq 8ab$。
14. 设$f(x) = e^x$，则$f'(x) = e^x$。
15. 设$f(x) = \ln(x^2+1)$，则$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$。
16. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f''(x) = 6$。
17. 设$a>0$，$b>0$，则$(a+b)^2 \geq 4ab$。
18. 设$f(x) = e^x$，则$f'(x) = e^x$。
19. 设$f(x) = \ln(x^2+1)$，则$f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}$。
20. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f''(x) = 6$。
三、解答题（共3小题，每小题20分，共60分）
21. 设$f(x) = \ln(x+1)$，求$f(x)$在$x=0$处的导数。
答案：$f'(x) = \frac{1}{x+1}$，$f'(0) = 1$。
22. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f(x)$在$x=0$处的二阶导数。
答案：$f''(x) = 6$，$f''(0) = 6$。
23. 设$a>0$，$b>0$，证明$(a+b)^3 \geq 8ab$。
证明：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，
$(a+b)^3 - 8ab = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 8ab = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 - 5ab + b^3$，
$(a+b)^3 - 8ab = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2 - 5ab) = (a+b)(a^2 - 3ab + b^2)$，
$(a+b)^3 - 8ab = (a+b)(a-b)^2 \geq 0$（因为$(a-b)^2 \geq 0$），
所以$(a+b)^3 \geq 8ab$。
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