在今天的考研数学每日一题中，我们遇到了一道关于中值定理的应用题。题目如下：
已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$在闭区间$[0, 2]$上连续，在开区间$(0, 2)$内可导。求证：存在至少一点$\xi \in (0, 2)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
解答如下：
首先，根据罗尔定理，由于$f(x)$在$[0, 2]$上连续，在$(0, 2)$内可导，且$f(0) = 1$，$f(2) = 5$，我们可以得出$f(0) \neq f(2)$，因此存在至少一点$c \in (0, 2)$，使得$f'(c) = 0$。
接下来，我们构造辅助函数$F(x) = f(x) - \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}x$。显然，$F(x)$在$[0, 2]$上连续，在$(0, 2)$内可导。计算$F(0)$和$F(2)$的值，我们有$F(0) = f(0) - \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} \cdot 0 = 1$，$F(2) = f(2) - \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} \cdot 2 = 5 - 5 = 0$。
由于$F(0) \neq F(2)$，根据罗尔定理，存在至少一点$\xi \in (0, 2)$，使得$F'(\xi) = 0$。而$F'(x) = f'(x) - \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$，因此$f'(\xi) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$。
这样，我们就证明了存在至少一点$\xi \in (0, 2)$，满足题目要求。
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