在2021年的数学分析考研真题中，考生们普遍遇到了一系列挑战性的问题。这些题目不仅考验了考生对基础知识的掌握程度，还要求他们具备一定的解题技巧和逻辑思维能力。以下是对其中几个典型题目的分析：
1. 极限的计算：这类题目要求考生熟练运用洛必达法则、夹逼定理等方法求解。例如，计算$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$，正确答案为1。
2. 级数收敛性判断：这一部分考察了考生对级数收敛性的理解和判断能力。例如，判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的收敛性，答案为收敛。
3. 微分方程求解：这类题目要求考生能够熟练运用微分方程求解方法。例如，求解微分方程$y''+y=0$，其通解为$y=C_1\cos x+C_2\sin x$。
4. 多元函数的偏导数和梯度：这一部分考察了考生对多元函数偏导数和梯度的理解。例如，求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在点$(1,1)$处的梯度，答案为$\nabla f(1,1)=(2,2)$。
5. 二重积分的计算：这类题目要求考生能够运用积分技巧求解二重积分。例如，计算$\iint_D x^2y\,d\sigma$，其中$D$是单位圆盘，答案为$\frac{\pi}{6}$。
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