19年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查的是极限的计算。由洛必达法则得：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \]
故选B。
2. 解析：本题考查的是函数的导数。由求导法则得：
\[ \left(\frac{x^2}{x+1}\right)' = \frac{(x^2)'(x+1) - x^2(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} \]
故选C。
3. 解析：本题考查的是一元二次方程的根。由求根公式得：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
代入得：
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
故选A。
二、填空题
4. 解析：本题考查的是行列式的计算。由行列式的性质得：
\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]
代入得：
\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - (-1) \times 1 = 2 \]
故答案为2。
5. 解析：本题考查的是矩阵的行列式。由行列式的性质得：
\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]
代入得：
\[ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \times 1 - 3 \times 1 = -1 \]
故答案为-1。
三、解答题
6. 解析：本题考查的是一元二次方程的求根。由求根公式得：
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
代入得：
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \]
故答案为\( \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \)和\( \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \)。
7. 解析：本题考查的是函数的极值。由导数的定义和性质得：
\[ f'(x) = 2x + 3 \]
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = -\frac{3}{2} \)。
当\( x < -\frac{3}{2} \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数单调递减；
当\( x > -\frac{3}{2} \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数单调递增。
故\( x = -\frac{3}{2} \)为函数的极小值点，极小值为\( f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} \)。
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