2012年考研数学1真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f'(1)=\textbf{A. 2}\textbf{，B. 1}\textbf{，C. 0}\textbf{，D. -1}$
答案：A
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得$f'(1)=2$。
2. 下列函数中，连续且可导的是$\textbf{A.}f(x)=|x|\textbf{，B.}f(x)=\sqrt{x}\textbf{，C.}f(x)=\frac{1}{x}\textbf{，D.}f(x)=\sin x$。
答案：D
解析：A、B、C选项在$x=0$处不连续，D选项在$\mathbb{R}$上连续且可导。
3. 设$a>0$，$f(x)=x^3-ax^2+3x$，则$f'(x)$的零点个数是$\textbf{A. 1}\textbf{，B. 2}\textbf{，C. 3}\textbf{，D. 4}$。
答案：C
解析：$f'(x)=3x^2-2ax+3$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{a}{3}$，$x_3=-1$。故$f'(x)$的零点个数为3。
二、填空题
1. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x$，则$f(2)=\textbf{8}$。
解析：代入$x=2$得$f(2)=2^3-3\times2^2+4\times2=8$。
2. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)=\textbf{-1}$。
解析：$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=0$得$f'(0)=-1$。
三、解答题
1. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
答案：$y=2x-1$
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，代入$x=1$得$f'(1)=2$，故切线斜率为2。又因为切点为$(1,2)$，所以切线方程为$y=2x-1$。
2. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$在$x=0$处的极值。
答案：极大值为$4$，极小值为$0$。
解析：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{a}{3}$，$x_3=-1$。当$x=0$时，$f'(0)=4>0$，故$f(x)$在$x=0$处取得极大值$4$；当$x=1$时，$f'(1)=2>0$，故$f(x)$在$x=1$处取得极小值$0$。
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