在求解2025年考研数学中的积分题时，以下是一个典型的例子：
题目：计算不定积分 $\int \frac{e^x}{(1+x^2)^2} \, dx$。
解题步骤：
1. 首先，识别积分中的凑微分形式。观察到分母中的$(1+x^2)^2$可以看作是微分形式$(1+x^2)'dx$的平方。
2. 进行凑微分，令$u = 1+x^2$，则$du = 2x \, dx$，从而$dx = \frac{du}{2x}$。
3. 将积分变换为关于$u$的表达式：
\[
\int \frac{e^x}{(1+x^2)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{u^2} \cdot \frac{du}{2x}
\]
4. 由于$e^x$和$x$在分子分母中相互抵消，简化积分表达式为：
\[
\frac{1}{2} \int \frac{e^x}{u^2} \, du
\]
5. 再次使用凑微分，令$v = e^x$，则$dv = e^x \, dx$，从而$du = \frac{dv}{v}$。
6. 积分变为：
\[
\frac{1}{2} \int \frac{1}{v^2} \, dv
\]
7. 这是一个基本的积分形式，积分结果为：
\[
-\frac{1}{2v} + C
\]
8. 将$v = e^x$代回，得到最终结果：
\[
-\frac{1}{2e^x} + C
\]
或者写作：
\[
-\frac{1}{2(1+x^2)} + C
\]
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】为您提供丰富的考研刷题资源，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助您高效备考，轻松应对考试挑战！立即下载，开启你的考研刷题之旅！【考研刷题通】