线性代数大题在考研数学二中占据重要地位，主要考查线性方程组、特征值与特征向量、二次型等核心知识点。以下是一例线性代数大题解答思路：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答步骤：
1. 求特征值：首先计算矩阵 \( A \) 的特征多项式，即 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
\( \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 \)
解得 \( \lambda_1 = -1 \)，\( \lambda_2 = 6 \)。
2. 求特征向量：对于每个特征值，求出对应的特征向量。
- 当 \( \lambda_1 = -1 \) 时，解线性方程组 \( (A + I)x = 0 \)。
\( (A + I)x = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
解得特征向量为 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = -1 \)，即 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。
- 当 \( \lambda_2 = 6 \) 时，解线性方程组 \( (A - 6I)x = 0 \)。
\( (A - 6I)x = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)
解得特征向量为 \( x_1 = 2 \)，\( x_2 = 3 \)，即 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
综上，矩阵 \( A \) 的特征值为 \( -1 \) 和 \( 6 \)，对应的特征向量分别为 \( \alpha_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \alpha_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
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