关键词：19数二考研真题，18题
在19年的数二考研中，第18题是一道考验考生综合能力的经典题目。题目如下：
设函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，且$f'(x)$在$(0,1)$内存在。若$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = \frac{1}{2}$。
解题思路如下：
1. 由于$f(x)$在$[0,1]$上连续，$f'(x)$在$(0,1)$内存在，根据罗尔定理，存在$\eta \in (0,1)$，使得$f'(\eta) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1$。
2. 为了证明存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = \frac{1}{2}$，构造辅助函数$g(x) = f(x) - \frac{1}{2}x$。
3. 求导得$g'(x) = f'(x) - \frac{1}{2}$。由于$f'(x)$在$(0,1)$内存在，$g'(x)$在$(0,1)$内也有界。
4. 由于$g(0) = f(0) - \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$，$g(1) = f(1) - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$，根据零点定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$g'(\xi) = 0$。
5. 由于$g'(\xi) = f'(\xi) - \frac{1}{2}$，所以$f'(\xi) = \frac{1}{2}$。
综上，存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = \frac{1}{2}$。
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