题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：存在实数$a$，使得$f(a)=0$。
证明：首先，我们考虑函数$f(x)$在实数域上的连续性。由于$f(x)$是一个多项式函数，它在实数域上处处连续。
接下来，我们观察函数$f(x)$的极限行为。当$x\rightarrow +\infty$时，$f(x)=x^3-3x^2+4x+1\rightarrow +\infty$；当$x\rightarrow -\infty$时，$f(x)=x^3-3x^2+4x+1\rightarrow -\infty$。这说明函数$f(x)$在实数域上存在零点。
根据零点定理，如果一个连续函数在某个区间内的两个端点取值异号，那么在这个区间内至少存在一个零点。由于$f(x)$在$x\rightarrow +\infty$时取正值，在$x\rightarrow -\infty$时取负值，我们可以断定存在某个实数$a$，使得$f(a)=0$。
综上所述，我们证明了存在实数$a$，使得$f(a)=0$。
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