在求解分段复合函数的定义域时，首先需要逐一确定每一段函数的定义域，然后取这些定义域的交集。以下是一个具体的解题步骤：
1. 确定各段函数的定义域：
- 对于第一段函数，比如 \( f(x) = \sqrt{g(x)} \)，需要保证被开方数非负，即 \( g(x) \geq 0 \)。
- 对于第二段函数，比如 \( h(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \)，要求分母 \( q(x) \neq 0 \)。
2. 求解不等式：
- 解不等式 \( g(x) \geq 0 \) 和 \( q(x) \neq 0 \)。
- 如果 \( g(x) \) 和 \( q(x) \) 是连续的，可以直接通过分析函数图像或者利用区间测试法找出解集。
3. 取交集：
- 将每段函数的定义域求交集，得到整个分段复合函数的定义域。
举例说明：
设分段复合函数 \( f(x) = \begin{cases}
\sqrt{x-2}, & \text{if } x > 2 \\
\frac{1}{x-3}, & \text{if } 2 \leq x < 3 \\
\ln(x+1), & \text{if } x < 2
\end{cases} \)
- 对于第一段，需要 \( x-2 \geq 0 \)，即 \( x \geq 2 \)。
- 对于第二段，需要 \( x-3 \neq 0 \) 和 \( x > 2 \)，即 \( x \neq 3 \)。
- 对于第三段，需要 \( x+1 > 0 \)，即 \( x > -1 \)。
取交集得到定义域为 \( x > -1 \) 且 \( x \neq 3 \)。
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