2010年考研数学三第4题要求比较大小，题目如下：
设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求证：当$x > 0$时，$f(x) > 0$。
证明：
首先，对函数$f(x)$求导，得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
当$x \in (0, \frac{2}{3})$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
当$x \in (\frac{2}{3}, 1)$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；
当$x \in (1, +\infty)$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$f(x)$在$x = 1$处取得极小值，且$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3 > 0$。
又因为$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$处取得极大值，且$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \times (\frac{2}{3})^2 + 4 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{27} > 0$。
所以，当$x > 0$时，$f(x) > 0$。
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