2021考研数学一试题讲解

2021年考研数学一试题讲解如下：

一、选择题

1. 题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f'(1)$的值为（ ）

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

答案：C

解析：由导数的定义，$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$，代入$x=1$，得$f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1+\Delta x)^3 - 3(1+\Delta x)^2 + 4(1+\Delta x) - 6 - (1^3 - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 6)}{\Delta x} = 0$。

2. 题目：设$a > 0$，$b > 0$，则$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}$（ ）

A. 错误

B. 正确

答案：B

解析：由柯西不等式，$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \leq (a+b)(1+1) = 2(a+b)$，开方得$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}$。

二、填空题

1. 题目：设$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'(x)$的值为____。

答案：$-\frac{1}{x^2}$

解析：由导数的定义，$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x}}{\Delta x} = -\frac{1}{x^2}$。

三、解答题

1. 题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$的极值。

答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=2$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=0$。

解析：求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$和$x=2$。当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$12$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。因此，$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=2$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=0$。

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