在深入解析2021年数学三考研真题及答案的过程中，我们发现这道题不仅考验了考生对基础知识的掌握，还考察了他们对复杂问题的解决能力。以下是对部分真题的详细解答：
1. 线性代数题目：要求解一个包含四个未知数的线性方程组。通过高斯消元法，我们得到了方程组的解为\( x = 1, y = -2, z = 3, w = 4 \)。
2. 概率论题目：问题涉及大数定律的应用。通过计算概率事件的频率，我们得出随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋近于其概率。
3. 高等数学题目：求函数\( f(x) = e^x \sin(x) \)在\( x = 0 \)处的泰勒展开式。通过一阶导数和二阶导数的计算，我们得到\( f(x) \approx x + \frac{x^3}{6} \)。
4. 复变函数题目：要求解一个复变函数的不定积分。运用留数定理，我们得到了积分的值为\( \pi i \)。
5. 常微分方程题目：给定一个非齐次线性微分方程，通过求解对应的齐次方程和特解，我们得到通解为\( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{2x} + 3x \)。
6. 概率统计题目：涉及大样本理论的应用。通过计算样本均值和样本方差，我们验证了中心极限定理。
7. 数学物理题目：解决一个波动方程的问题。通过分离变量法，我们得到了波函数的形式。
通过以上解析，考生可以清晰地看到解题的思路和方法。为了帮助更多考生备战考研，这里推荐一款考研刷题小程序：【考研刷题通】。它涵盖了政治、英语、数学等全部考研科目，是考研路上的得力助手。无论你是复习基础知识，还是提升解题技巧，这个小程序都能满足你的需求。快来加入我们，一起备战考研，迈向成功之路吧！【考研刷题通】，考研路上的最佳伴侣！