2021年考研高数一真题及答案解析如下：
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)=\left(\right)$
A. -1 B. 0 C. 2 D. 3
解析：$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$，得$f'(1)=3-3=0$。故选B。
2. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^3}=\left(\right)$
A. 0 B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\infty$
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{3x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot 0=0$。故选A。
3. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(-1)=\left(\right)$
A. -4 B. -1 C. 2 D. 3
解析：代入$x=-1$，得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$。故选A。
4. 设$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$，则$f'(1)=\left(\right)$
A. 1 B. -1 C. 0 D. 无定义
解析：$f'(x)=\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$，代入$x=1$，得$f'(1)=\frac{1^2(1^2-1)-3\cdot 1^3}{(1^2-1)^2}=0$。故选C。
5. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(2)=\left(\right)$
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{8}$ D. 无定义
解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$，代入$x=2$，得$f'(2)=\frac{1}{2}$。故选A。
6. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f''(1)=\left(\right)$
A. 2 B. 3 C. -2 D. -3
解析：$f''(x)=6x-3$，代入$x=1$，得$f''(1)=6-3=3$。故选B。
7. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\left(\right)$
A. 0 B. $\frac{1}{2}$ C. 1 D. 无定义
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$。故选C。
8. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $3x^2-3$ B. $3x^2-6x+2$ C. $3x^2-3x+2$ D. $3x^2+6x-2$
解析：$f'(x)=3x^2-3$。故选A。
9. 设$f(x)=\ln x$，则$f''(x)=\left(\right)$
A. $\frac{1}{x^2}$ B. $\frac{1}{x}$ C. $-\frac{1}{x^2}$ D. 无定义
解析：$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。故选C。
10. 设$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$，则$f'(x)=\left(\right)$
A. $\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$ B. $\frac{x^2(x^2-1)+3x^3}{(x^2-1)^2}$ C. $\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$ D. $\frac{x^2(x^2-1)+3x^3}{(x^2-1)^2}$
解析：$f'(x)=\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$。故选A。
二、填空题（共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\left(\right)$
解析：$f'(x)=\frac{1}{x}$。
2. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^3}=\left(\right)$
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^3}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{3x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot 0=0$。
3. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f(-1)=\left(\right)$
解析：代入$x=-1$，得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$。
4. 设$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$，则$f'(1)=\left(\right)$
解析：$f'(x)=\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$，代入$x=1$，得$f'(1)=\frac{1^2(1^2-1)-3\cdot 1^3}{(1^2-1)^2}=0$。
5. 设$f(x)=\ln x$，则$f''(x)=\left(\right)$
解析：$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。
6. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f''(1)=\left(\right)$
解析：$f''(x)=6x-3$，代入$x=1$，得$f''(1)=6-3=3$。
7. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=\left(\right)$
解析：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
8. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)=\left(\right)$
解析：$f'(x)=3x^2-3$。
9. 设$f(x)=\ln x$，则$f''(x)=\left(\right)$
解析：$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。
10. 设$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$，则$f'(x)=\left(\right)$
解析：$f'(x)=\frac{x^2(x^2-1)-3x^3}{(x^2-1)^2}$。
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