在2012年考研数学中，第17题是一道典型的应用题，涉及线性代数中的矩阵理论。题目通常要求考生求解一个给定矩阵的行列式、特征值或特征向量，或者解决一个与线性方程组相关的问题。以下是针对该题目的一个原创解答：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和对应的特征向量。
解答步骤：
1. 计算特征多项式：首先，我们需要求出矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵，\( \lambda \) 是特征值。
2. 解特征多项式：将 \( A \) 的特征多项式展开并化简，得到一个关于 \( \lambda \) 的三次方程。
3. 求解特征值：解这个三次方程，得到矩阵 \( A \) 的三个特征值 \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \)。
4. 求解特征向量：对于每个特征值 \( \lambda_i \)，解方程组 \( (A - \lambda_i I)x = 0 \)，其中 \( x \) 是特征向量。
通过上述步骤，我们可以得到矩阵 \( A \) 的特征值和对应的特征向量。例如，如果特征值 \( \lambda_1 = 3 \)，则对应的特征向量可以通过求解线性方程组得到。
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