在考研数学中，压轴难题往往考验考生的综合运用能力和创新思维。这类题目往往涉及多个知识点交叉，解题过程复杂，需要考生具备扎实的理论基础和灵活的解题技巧。以下是一道典型的考研数学压轴难题：
题目：设函数$f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x}{2}-\sin x$，证明：当$x>0$时，$f(x)>0$。
解题思路：
1. 利用拉格朗日中值定理，证明$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增；
2. 证明$f(x)$在$x=0$处取得极小值；
3. 结合单调性和极值，证明$f(x)>0$。
解答过程：
1. 证明$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增：
设$g(x)=f'(x)=x^2+\frac{1}{2}-\cos x$，则$g'(x)=2x+\sin x>0$（当$x>0$时）。因此，$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
又因为$g(0)=\frac{1}{2}>0$，所以$g(x)>0$，即$f'(x)>0$。因此，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
2. 证明$f(x)$在$x=0$处取得极小值：
由1可知，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$在$x=0$处取得极小值。
3. 结合单调性和极值，证明$f(x)>0$：
由2可知，$f(x)$在$x=0$处取得极小值，即$f(0)=0$。又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以当$x>0$时，$f(x)>f(0)=0$。
综上所述，当$x>0$时，$f(x)>0$。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，政治、英语、数学等全部考研科目，助你轻松应对压轴难题！微信搜索“考研刷题通”，开启你的考研之旅！