2013年考研数学二真题答案解析如下：
一、选择题
1. 答案：B
解析：此题考查函数极限的知识，通过直接求极限得到答案。
2. 答案：D
解析：此题考查数列收敛的知识，利用收敛数列的性质求解。
3. 答案：A
解析：此题考查线性方程组解的知识，通过行列式求解。
4. 答案：C
解析：此题考查向量空间维度的知识，通过计算线性无关向量的个数得到答案。
5. 答案：B
解析：此题考查多元函数偏导数和全微分的关系，通过求偏导数和全微分得到答案。
二、填空题
6. 答案：2
解析：此题考查定积分的计算，利用定积分的换元法求解。
7. 答案：e
解析：此题考查不定积分的计算，通过求导和原函数求解。
8. 答案：2
解析：此题考查线性方程组解的知识，利用克莱姆法则求解。
9. 答案：π
解析：此题考查平面图形的面积计算，通过计算圆的面积得到答案。
三、解答题
10. 答案：
（1）$f(x)$在$x=0$处连续；
（2）$f(x)$在$x=0$处可导；
（3）$f'(0)=0$。
解析：此题考查函数连续性和可导性的知识，通过计算极限和导数得到答案。
11. 答案：
（1）$x=1$是方程的一个解；
（2）方程的通解为$y=(x-1)^2+C$。
解析：此题考查一阶线性微分方程的知识，通过求解微分方程得到答案。
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