考研数学二2010年第8题是一道关于多元函数微积分的题目。题目如下：
已知函数 \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2 + 1} \)，求 \( f \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数。
解题步骤如下：
1. 首先对 \( x \) 求偏导，将 \( y \) 视为常数：
\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{xy}{x^2 + y^2 + 1} \right) = \frac{y(x^2 + y^2 + 1) - xy \cdot 2x}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
\[ f_x = \frac{y(x^2 + y^2 + 1 - 2x^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
\[ f_x = \frac{y(1 - x^2 + y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
2. 然后对 \( y \) 求偏导，将 \( x \) 视为常数：
\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{xy}{x^2 + y^2 + 1} \right) = \frac{x(x^2 + y^2 + 1) - xy \cdot 2y}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
\[ f_y = \frac{x(x^2 + y^2 + 1 - 2y^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
\[ f_y = \frac{x(1 - y^2 + x^2)}{(x^2 + y^2 + 1)^2} \]
3. 将 \( x = 1 \) 和 \( y = 1 \) 代入上述两个偏导数中，得到：
\[ f_x(1, 1) = \frac{1(1 - 1^2 + 1^2)}{(1^2 + 1^2 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
\[ f_y(1, 1) = \frac{1(1 - 1^2 + 1^2)}{(1^2 + 1^2 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]
因此，函数 \( f \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数为 \( \frac{1}{9} \)。
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