2020考研数学一第12题难点解析与常见误区辨析
2020年考研数学一第12题是一道关于函数极限与连续性的综合题，涉及洛必达法则、无穷小比较和分段函数的讨论。不少考生在作答时因概念混淆或计算疏忽而失分，本文将结合典型错误，深入剖析解题关键点，帮助考生规避误区。
常见问题与权威解答
问题1：如何正确应用洛必达法则处理“0/0”型极限？
不少考生在遇到“0/0”型极限时盲目连续求导，却忽略了分子分母求导后极限可能不存在的情形。以本题中的 lim(x→0) [x sin(x)tan(x)]/x3 为例，若直接对分子分母求导，会得到 lim(x→0) [1 cos(x)tan(x) xsec2(x)]/3x2，此时极限依然为“0/0”型。正确做法是先利用三角函数恒等式化简：原式 = lim(x→0) [x sin(x)sin(x)/cos(x)]/x3 = lim(x→0) [x sin2(x)/cos(x)]/x3，再分子分母同时乘以cos(x)，转化为 lim(x→0) [xcos(x) sin2(x)]/x3cos(x)。此时分子展开后可得 1/2 x2/4 + o(x2)，最终极限为 1/12。关键在于认识到洛必达法则并非万能，需结合泰勒展开等技巧综合运用。
问题2：分段函数在衔接点处的连续性如何判断？
本题后半部分涉及分段函数的连续性讨论，部分考生仅验证了左右极限相等，却忽视了函数值是否等于极限值这一核心要素。以 f(x) = xsin(1/x) (x≠0) 和 f(0) = 0 为例，虽然 lim(x→0) xsin(1/x) = 0，但需进一步验证 f(0) = 0 是否等于该极限。若改为 f(0) = 1，则函数在x=0处不连续。因此判断连续性必须遵循“左极限=右极限=函数值”的三步法，尤其当分段点包含无穷间断点时更需谨慎。本题中需分别讨论x→0?和x→0?时 xln(1+x)/arctan(x) 的极限表现，并验证f(0)的取值是否与之匹配。
问题3：无穷小量阶数比较的常见错误有哪些？
本题涉及 1 cos(x)tan(x) 与 x3 的无穷小量阶数比较，不少考生误将 1 cos(x) 简化为 x2/2 而忽略tan(x)的影响。正确展开需记住：cos(x) = 1 x2/2 + x?/24 + o(x?)，tan(x) = x + x3/3 + o(x3)，则 1 cos(x)tan(x) = x2/2 x3/2 + x?/24 + o(x3)。可见其主部为 x2/2，与 x3 相除系数为 1/6。常见错误还包括：