2021年考研数学答案如下：
一、选择题：
1. D
2. A
3. C
4. B
5. D
二、填空题：
6. 2
7. 3
8. 0
9. π
10. e
三、解答题：
11. 解：设f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f(x)在x=1、2、3、4时均等于0。由罗尔定理知，至少存在一个ξ∈(1,2)，使得f'(ξ) = 0。又因为f'(x) = 4x^3 - 27x^2 + 54x - 24，所以f'(ξ) = 4ξ^3 - 27ξ^2 + 54ξ - 24 = 0。解得ξ = 3，因此f(3) = 0。故本题答案为0。
12. 解：设函数f(x) = ln(x+1)，则f'(x) = 1/(x+1)。由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0,1)，使得f(1) - f(0) = f'(ξ)(1-0)。即ln2 - ln1 = 1/ξ。解得ξ = 2。故本题答案为2。
13. 解：设f(x) = x^2 - 2x + 1，则f'(x) = 2x - 2。由罗尔定理知，至少存在一个ξ∈(1,2)，使得f'(ξ) = 0。即2ξ - 2 = 0，解得ξ = 1。故本题答案为1。
14. 解：设f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(x) = 2x + 2。由罗尔定理知，至少存在一个ξ∈(1,2)，使得f'(ξ) = 0。即2ξ + 2 = 0，解得ξ = -1。故本题答案为-1。
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