在2022年的考研数学中，积分问题是一个高频考点。以下是一道典型的积分题目：
题目：计算定积分 $\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
解题思路：
1. 首先，我们注意到被积函数 $x^2 \sin x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上是连续的，因此该积分存在。
2. 接下来，我们可以尝试使用分部积分法来求解。设 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$；设 $dv = \sin x \, dx$，则 $v = -\cos x$。
3. 根据分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们有：
\[
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \left. -x^2 \cos x \right|_0^{\pi} + \int_0^{\pi} 2x \cos x \, dx.
\]
4. 继续对 $\int_0^{\pi} 2x \cos x \, dx$ 使用分部积分法，设 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$；设 $dv = \cos x \, dx$，则 $v = \sin x$。
5. 同样地，根据分部积分公式，我们有：
\[
\int_0^{\pi} 2x \cos x \, dx = \left. 2x \sin x \right|_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx.
\]
6. 最后，计算 $\int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx$，得到：
\[
\int_0^{\pi} 2 \sin x \, dx = -2 \cos x \bigg|_0^{\pi} = -2(-1 - 1) = 4.
\]
7. 将上述结果代入原积分，得到：
\[
\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx = -\pi^2 + 2\pi - 4.
\]
所以，2022年考研数学积分的答案为 $-\pi^2 + 2\pi - 4$。
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