2019年考研数学二第18题是一道关于多元函数极限的题目。题目要求考生求函数$f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$在点$(0, 0)$处的极限。解题思路如下：
首先，考虑直接代入$x = 0$和$y = 0$，得到$\frac{0^2 \cdot 0}{0^2 + 0^2} = 0$。然而，这种直接代入的方法并不能证明该极限存在。
接下来，我们可以考虑使用极坐标变换。设$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，其中$r$表示原点到点$(x, y)$的距离，$\theta$表示与正$x$轴的夹角。则函数$f(x, y)$可以表示为$f(r, \theta) = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2}$。
当$(x, y) \to (0, 0)$时，$r \to 0$。此时，$f(r, \theta) = r\cos^2\theta\sin\theta$。因为$\cos^2\theta$和$\sin\theta$的值在$[-1, 1]$之间变化，所以$r\cos^2\theta\sin\theta$的绝对值不会超过$r$。因此，根据夹逼准则，当$r \to 0$时，$f(r, \theta) \to 0$。
综上所述，函数$f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$在点$(0, 0)$处的极限为$0$。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手！涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，让你轻松备战考研。立即加入我们，开启高效刷题之旅！🎉📚🎓【考研刷题通】🎓📚🎉