多元函数微分是考研数学中的重要内容，它主要涉及偏导数、全微分和梯度等概念。以下是多元函数微分讲解的要点：
1. 偏导数：多元函数在某一点的偏导数表示该函数在该点沿某一坐标轴方向的变化率。设函数为\( f(x, y, z) \)，则\( f \)对\( x \)的偏导数为\( \frac{\partial f}{\partial x} \)，对\( y \)的偏导数为\( \frac{\partial f}{\partial y} \)，对\( z \)的偏导数为\( \frac{\partial f}{\partial z} \)。
2. 全微分：多元函数的全微分表示函数在某一点附近的变化量。设函数为\( f(x, y, z) \)，则\( f \)在点\( (x_0, y_0, z_0) \)的全微分\( df \)为：
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \]
其中，\( dx \)、\( dy \)、\( dz \)分别为\( x \)、\( y \)、\( z \)的微小变化量。
3. 梯度：多元函数的梯度表示函数在某一点处变化最快的方向，即该点的全微分向量。设函数为\( f(x, y, z) \)，则\( f \)在点\( (x_0, y_0, z_0) \)的梯度为：
\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]
4. 隐函数求导：对于隐函数\( F(x, y, z) = 0 \)，可以通过求偏导数的方法求出\( y \)对\( x \)的导数\( \frac{dy}{dx} \)和\( z \)对\( x \)的导数\( \frac{dz}{dx} \)。
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