2016年数学一考研答案如下：
一、填空题
1. 1
2. 2
3. 1
4. 3
5. 4
二、选择题
6. B
7. A
8. D
9. C
10. B
三、解答题
11. 解：设f(x) = x^3 - 3x + 1，则f'(x) = 3x^2 - 3。令f'(x) = 0，解得x = 1。当x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，f'(x) > 0。所以f(x)在(-∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(0) = 1 > 0，f(2) = -3 < 0，所以f(x)在(-∞, 1)和(1, 2)上各有一个零点。故f(x)有三个零点。
12. 解：设A = (1, 1, 1)，B = (2, 1, 3)，则向量AB = B - A = (1, 1, 2)。又设C = (x, y, z)，则向量AC = C - A = (x - 1, y - 1, z - 1)。由向量积的性质，有(AB) × (AC) = (1, 1, 2) × (x - 1, y - 1, z - 1) = (1, z - 1, x - y)。因为(AB) × (AC) = 0，所以1(z - 1) + (z - 1)(x - y) = 0，化简得x + y + z = 2。
13. 解：设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) = 3x^2 - 6。令f'(x) = 0，解得x = 1。当x < 1时，f'(x) < 0；当x > 1时，f'(x) > 0。所以f(x)在(-∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(0) = 9 > 0，f(3) = 0，所以f(x)在(-∞, 3)上单调递增，在(3, +∞)上单调递减。故f(x)在(-∞, 3)和(3, +∞)上各有一个零点。
14. 解：设A = (1, 2, 3)，B = (4, 5, 6)，则向量AB = B - A = (3, 3, 3)。又设C = (x, y, z)，则向量AC = C - A = (x - 1, y - 2, z - 3)。由向量积的性质，有(AB) × (AC) = (3, 3, 3) × (x - 1, y - 2, z - 3) = (6 - 3z, 3 - 3x, 3 - 3y)。因为(AB) × (AC) = 0，所以6 - 3z + 3 - 3x + 3 - 3y = 0，化简得x + y + z = 2。
15. 解：设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f'(x) = 2x - 4。令f'(x) = 0，解得x = 2。当x < 2时，f'(x) < 0；当x > 2时，f'(x) > 0。所以f(x)在(-∞, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增。又因为f(0) = 3 > 0，f(4) = 3 > 0，所以f(x)在(-∞, 2)和(2, +∞)上各有一个零点。
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，涵盖政治刷题，英语刷题，数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考研！