2012年考研数学二第17题解析如下：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{x}\sin x \)，其中 \( x \in [0, \pi] \)。求 \( f(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 首先求 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)。
\[ f'(x) = \left( \frac{1}{x}\sin x \right)' = \frac{\cos x - \sin x}{x^2} \]
2. 令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( \cos x = \sin x \)，即 \( x = \frac{\pi}{4} \)。
3. 检查 \( x = 0 \) 和 \( x = \pi \) 以及 \( x = \frac{\pi}{4} \) 处的函数值。
\[ f(0) = \frac{1}{0} \sin 0 = 0 \]
\[ f(\pi) = \frac{1}{\pi} \sin \pi = 0 \]
\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\frac{\pi}{4}} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{2}{\sqrt{2}\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \]
4. 比较这三个值，得出 \( f(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的最大值为 \( \frac{\sqrt{2}}{\pi} \)，最小值为 0。
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