题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的最大值和最小值。
解答：
首先，对函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 进行求导，得到 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)。
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x^2 = 1 \)，即 \( x = \pm 1 \)。
计算 \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \) 和 \( f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \)。
接下来，考虑区间端点 \( x = -1 \) 和 \( x = 1 \) 的函数值，以及 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 内的值。
由于 \( f(x) \) 是一个三次函数，且导数 \( f'(x) \) 在 \( x = 0 \) 处改变符号，因此 \( x = 0 \) 可能是极值点。
计算 \( f(0) = 0^3 - 3(0) = 0 \)。
综上所述，函数 \( f(x) \) 在区间 \([-1, 1]\) 上的最大值为 2，最小值为 -2。
【考研刷题通】小程序，助你轻松备考，政治、英语、数学等考研科目刷题无忧。立即体验，开启高效复习之旅！【考研刷题通】