2014年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。根据韦达定理，若一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个实根 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。代入选项可得，$x_1+x_2=-\frac{1}{2}$，$x_1x_2=-1$，故选A。
2. 解析：本题考查数列的通项公式。根据题意，可得数列的通项公式为 $a_n=3^n$，故选D。
3. 解析：本题考查函数的极限。根据洛必达法则，可得 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$，故选B。
4. 解析：本题考查级数的收敛性。根据比值审敛法，可得 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}<1$，故级数收敛，故选C。
5. 解析：本题考查行列式的性质。根据行列式的性质，可得 $A^2$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_{ii}^2-a_{ij}^2$，故选B。
二、填空题
6. 解析：本题考查三角函数的值。根据题意，可得 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，故填 $\frac{1}{2}$。
7. 解析：本题考查定积分的计算。根据定积分的计算公式，可得 $\int_0^1x^2dx=\frac{1}{3}$，故填 $\frac{1}{3}$。
8. 解析：本题考查向量积的计算。根据向量积的计算公式，可得 $\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}=\vec{i}(2\times6-3\times5)-\vec{j}(1\times6-3\times4)+\vec{k}(1\times5-2\times4)$，故填 $\vec{i}$。
三、解答题
9. 解析：本题考查一元二次方程的根与系数的关系。根据韦达定理，可得 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-1$。故 $x_1$ 和 $x_2$ 的值分别为 $1$ 和 $-2$。
10. 解析：本题考查级数的收敛性。根据比值审敛法，可得 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}<1$，故级数收敛。
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