在追寻2012年考研数学三真题的过程中，每一位考生都渴望深入挖掘那些经典题目背后的解题思路。这一年，数学三的真题不仅考验了考生的基本计算能力，更考验了他们的逻辑思维和灵活运用知识的能力。以下是对其中一道典型题目的解析：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导数：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 求导数的零点：$3x^2 - 12x + 9 = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。
3. 分析函数的单调性：在$x=1$左侧，$f'(x) > 0$，函数单调递增；在$x=1$右侧，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
4. 求极值：$f(1) = 4$，$f(3) = 0$。
5. 比较端点值：$f(0) = 0$，$f(3) = 0$。
6. 结论：函数在区间$[0,3]$上的最大值为$4$，最小值为$0$。
通过以上解析，我们不仅找到了函数的最大值和最小值，还加深了对函数性质的理解。考研数学的学习，不仅需要掌握基础知识，更需要通过大量练习来提高解题能力。
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