在2021年的数学三考研真题中，考生们面临了多选题、填空题、解答题等多种题型。这些题目涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计三个主要部分。以下是对其中一部分题目的解析：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x=1$，$x=2$，$x=3$
B. $x=1$，$x=2$
C. $x=1$，$x=3$
D. $x=1$，$x=2$，$x=3$
【答案】A
解析：对$f(x)$求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$，$x=2$，$x=3$。
二、填空题
2. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^3 = 0$，则$A$的秩为：
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
【答案】A
解析：由于$A^3 = 0$，故$A$的零空间维数为3，即$r(A) = 0$。
三、解答题
3. 设$X$，$Y$为相互独立的随机变量，且$X \sim N(0,1)$，$Y \sim N(0,1)$，求$P(X+Y \leq 0)$。
【答案】$\frac{1}{2}$
解析：$X+Y$服从$N(0,2)$，其概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-\frac{x^2}{4}}$。由对称性可知，$P(X+Y \leq 0) = \frac{1}{2}$。
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