在2011年考研数学一的第一题中，考生面临的是一个涉及极限计算的难题。题目要求计算以下极限表达式：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cdot \ln(1 + x^2)}{x^3} \]
这个极限可以通过洛必达法则或者三角函数的泰勒展开来求解。通过泰勒展开，可以将\(\sin x\)和\(\ln(1 + x^2)\)展开到x的三阶项，从而得到：
\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5) \]
\[ \ln(1 + x^2) \approx x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6) \]
将上述展开式代入极限表达式中，我们可以得到：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5))(x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6))}{x^3} \]
简化后，极限变为：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - \frac{x^5}{6} + O(x^7)}{x^3} \]
最终计算得出：
\[ \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\right) = 1 \]
因此，2011年考研数学一的第一题的答案是1。
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