2023年数二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \sqrt{x} \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = x^2 \)
答案：D
解析：选项A、B、C在x=0处不连续，而选项D在实数域内连续且可导。
2. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(1) \) 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 0
D. 不存在
答案：A
解析：由导数的定义，\( f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = -1 \)。
3. 设 \( f(x) = e^x \)，则 \( f''(0) \) 等于（ ）
A. 1
B. 2
C. 0
D. -1
答案：A
解析：由函数的导数公式，\( f'(x) = e^x \)，\( f''(x) = e^x \)，所以 \( f''(0) = e^0 = 1 \)。
二、填空题
1. 设 \( f(x) = x^2 \)，则 \( f'(x) = \) __________。
答案：\( 2x \)
解析：由函数的导数公式，\( f'(x) = 2x \)。
2. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f''(x) = \) __________。
答案：\( -\frac{1}{x^3} \)
解析：由函数的导数公式，\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)，\( f''(x) = \frac{2}{x^3} \)。
三、解答题
1. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极值。
答案：\( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 处取得极大值 \( f(-1) = 4 \)，在 \( x = 2 \) 处取得极小值 \( f(2) = -2 \)。
解析：求导得 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = -1 \) 和 \( x = 2 \)。当 \( x < -1 \) 时，\( f'(x) > 0 \)；当 \( -1 < x < 2 \) 时，\( f'(x) < 0 \)；当 \( x > 2 \) 时，\( f'(x) > 0 \)。因此，\( f(x) \) 在 \( x = -1 \) 处取得极大值 \( f(-1) = 4 \)，在 \( x = 2 \) 处取得极小值 \( f(2) = -2 \)。
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