关键词：考研数学例题4-7
例题4：设函数 \( f(x) = e^{x^2} \)，求 \( f''(x) \)。
解答：首先，求 \( f'(x) \)，根据链式法则，有 \( f'(x) = 2xe^{x^2} \)。接着，求 \( f''(x) \)，同样使用链式法则，得 \( f''(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = 2(1 + 2x^2)e^{x^2} \)。
例题5：已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} \)。
解答：根据三角函数的极限性质，我们知道 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k \)。因此，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = 5 \)。
例题6：若 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = 1 \)，求 \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \)。
解答：首先，计算 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \) 的值。根据定积分的性质，我们有 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3} \)。由于 \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx \) 的每一项都是 \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \) 的三倍，因此 \( \int_0^1 (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) \, dx = 3 \times \frac{7}{3} = 7 \)。
例题7：已知 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \)，证明 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} = 0 \)。
解答：设 \( y = \ln x \)，则当 \( x \to \infty \) 时，\( y \to \infty \)。因此，原极限转化为 \( \lim_{y \to \infty} \frac{\ln y}{y} \)。根据洛必达法则，有 \( \lim_{y \to \infty} \frac{\ln y}{y} = \lim_{y \to \infty} \frac{1/y}{1} = 0 \)。
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