2022年考研数学二第3题：已知函数\( f(x) = \frac{1}{x} + \ln(x) \)，其中\( x > 0 \)。求\( f(x) \)在区间\( (0, +\infty) \)上的最大值。
解答：首先，对函数\( f(x) \)求导得\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \)。令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 1 \)。
接下来，判断\( x = 1 \)时\( f(x) \)的极值。当\( x \in (0, 1) \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)单调递减；当\( x \in (1, +\infty) \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)单调递增。因此，\( x = 1 \)为函数\( f(x) \)在区间\( (0, +\infty) \)上的极小值点。
最后，计算\( f(1) = \frac{1}{1} + \ln(1) = 1 \)。所以，函数\( f(x) \)在区间\( (0, +\infty) \)上的最大值为1。
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