2012年数二考研真题第9题详解如下：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
解题步骤：
1. 求导：对 \( f(x) \) 求一阶导数，得 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)。
2. 求驻点：令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = \frac{2}{3} \)。
3. 求二阶导数：对 \( f'(x) \) 求导，得 \( f''(x) = 6x - 6 \)。
4. 检验驻点性质：
- 当 \( x = 1 \) 时，\( f''(1) = 0 \)，无法确定极值性质。
- 当 \( x = \frac{2}{3} \) 时，\( f''(\frac{2}{3}) = 0 \)，无法确定极值性质。
5. 检验其他点：由于 \( f'(x) \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = \frac{2}{3} \) 之间为负，在 \( x = \frac{2}{3} \) 之后为正，故 \( x = 1 \) 是极大值点，\( x = \frac{2}{3} \) 是极小值点。
6. 计算极值：
- 极大值：\( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = 0 \)。
- 极小值：\( f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{27} \)。
因此，\( f(x) \) 的极大值为 0，极小值为 \( -\frac{2}{27} \)。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，政治、英语、数学等全部考研科目一网打尽！轻松刷题，高效备考，助力考研梦想成真！快来加入我们，开启你的考研刷题之旅！