在考研数学的真题中，概率问题常常以硬币投掷为背景。假设一枚公平的硬币连续投掷三次，我们需要计算以下概率：
1. 恰好投掷出两次正面朝上的概率。
2. 至少投掷出一次正面朝上的概率。
3. 一次正面朝上和两次反面朝上的概率。
解答如下：
1. 恰好投掷出两次正面朝上的概率可以通过组合数计算得出。投掷三次，每次有两种可能（正面或反面），因此总共有 \(2^3 = 8\) 种可能的结果。其中，恰好两次正面朝上的情况有 \(\binom{3}{2} = 3\) 种（即正正反、正反正、反正正）。因此，所求概率为 \(\frac{3}{8}\)。
2. 至少投掷出一次正面朝上的概率可以通过计算没有正面朝上的概率，然后用1减去这个概率来得出。没有正面朝上的情况只有一种，即三次都是反面朝上。因此，所求概率为 \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)。
3. 一次正面朝上和两次反面朝上的概率同样可以通过组合数计算得出。这种情况有 \(\binom{3}{1} = 3\) 种（即正反反、反正反、反反正）。因此，所求概率为 \(\frac{3}{8}\)。
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