2017年考研数学一第8题：设函数\( f(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1} \)，求\( f(x) \)在区间\( (0,1) \)上的最大值。
解答：首先对函数\( f(x) \)求导，得到\( f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(x^2 - 1) - (x^3 - 3x + 2)(2x)}{(x^2 - 1)^2} \)。令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = \pm 1, \pm \sqrt{3} \)。由于\( x \)在区间\( (0,1) \)内，故只需考虑\( x = \sqrt{3} \)的情况。
当\( x \)从\( 0 \)增加到\( \sqrt{3} \)时，\( f'(x) \)由负变正，因此\( f(x) \)在\( x = \sqrt{3} \)处取得最大值。计算\( f(\sqrt{3}) \)得\( f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3 - 3\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2}{2} = 1 \)。
因此，\( f(x) \)在区间\( (0,1) \)上的最大值为1。
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