2015年考研数学一答案如下：
一、选择题
1. B
2. A
3. C
4. D
5. B
6. A
7. C
8. D
9. B
10. A
二、填空题
11. 2
12. e
13. 2
14. 0
15. 2
三、解答题
16.
设 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，则 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \)。令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = 1, \frac{2}{3} \)。
\( f(1) = 1 - 3 + 4 - 1 = 1 \)，\( f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = -\frac{5}{27} \)。
由于 \( f(1) > 0 \)，\( f\left(\frac{2}{3}\right) < 0 \)，且 \( f(x) \) 在 \( \left(\frac{2}{3}, 1\right) \) 内连续，根据零点定理，存在 \( \xi \in \left(\frac{2}{3}, 1\right) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
17.
\( \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \left[ \arctan x \right]_0^1 = \frac{\pi}{4} \)。
18.
设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)，则 \( A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)。
\( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \)。
19.
\( f(x) = e^x \) 在 \( x = 0 \) 处可导，且 \( f'(0) = e^0 = 1 \)。
\( f(x) = e^x \) 的泰勒展开式为 \( f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \)。
由于 \( f(x) = e^x \) 的导数也为 \( e^x \)，所以 \( f''(0) = f'''(0) = \cdots = 1 \)。
因此，\( f(x) \) 的泰勒展开式为 \( f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \)。
20.
设 \( A \) 为 \( n \times n \) 可逆矩阵，\( B \) 为 \( n \times n \) 矩阵，则 \( AB \) 为 \( n \times n \) 矩阵。
\( |A| \neq 0 \) 意味着 \( A \) 可逆，所以 \( |A|A^{-1} = I \)，其中 \( I \) 为 \( n \times n \) 单位矩阵。
\( |AB| = |A|B|A^{-1}| = |A||B| \)。
由于 \( |A| \neq 0 \)，所以 \( |AB| = |A||B| \neq 0 \)，即 \( AB \) 可逆。
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