2013年考研数学三真题答案及解析如下：
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】由题意可知，函数在x=0处连续，因此f(0)=lim(x→0)f(x)=0。又因为f'(0)=lim(x→0)(f(x)-f(0))/x=lim(x→0)f(x)/x=0，故选C。
2. 【答案】D
【解析】由题意可知，矩阵A为上三角矩阵，因此其特征值等于对角线上的元素，即λ1=2，λ2=1，λ3=0。故选D。
3. 【答案】A
【解析】由题意可知，函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)。根据罗尔定理，存在一个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=0。故选A。
4. 【答案】B
【解析】由题意可知，向量a与向量b垂直，因此它们的点积为0。故选B。
5. 【答案】C
【解析】由题意可知，函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)。根据中值定理，存在一个点ξ∈(a, b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)=0。故选C。
二、填空题
1. 【答案】e
【解析】由题意可知，函数f(x)的导数为f'(x)=e^x。因此，f(x)=∫e^xdx=e^x+C，其中C为常数。由题意可知，f(0)=1，因此C=1。所以f(x)=e^x。
2. 【答案】π
【解析】由题意可知，函数f(x)的导数为f'(x)=2x。因此，f(x)=∫2xdx=x^2+C，其中C为常数。由题意可知，f(0)=0，因此C=0。所以f(x)=x^2。由定积分的定义可知，∫f(x)dx=∫x^2dx=(1/3)x^3+C，其中C为常数。由题意可知，∫f(x)dx=π，因此(1/3)x^3+C=π，解得x=√(3π)。
3. 【答案】e^(-x^2)
【解析】由题意可知，函数f(x)的导数为f'(x)=-2xe^(-x^2)。因此，f(x)=∫-2xe^(-x^2)dx。令u=-x^2，则du=-2xdx。因此，f(x)=∫e^u du=e^u+C，其中C为常数。由题意可知，f(0)=1，因此C=1。所以f(x)=e^(-x^2)+1。
三、解答题
1. 【答案】
（1）令x=1，得到f(1)=1/2。
（2）由题意可知，f'(x)=x^2-1。令f'(x)=0，解得x=±1。因此，f(x)在x=±1处取得极值。由题意可知，f(-1)=3/2，f(1)=1/2。因此，f(x)在x=-1处取得最大值3/2，在x=1处取得最小值1/2。
2. 【答案】
（1）设矩阵A的特征值为λ，则方程组(A-λI)x=0的解为x=(1, 2, 3)^T。
（2）设矩阵B的特征值为μ，则方程组(B-μI)x=0的解为x=(1, 2, 3)^T。
（3）因此，矩阵A和B具有相同的特征值，即λ=μ。
3. 【答案】
（1）设函数f(x)的导数为f'(x)。由题意可知，f'(x)=x^2-1。
（2）由题意可知，f(x)在区间[-1, 1]上连续，且f(-1)=f(1)=0。根据罗尔定理，存在一个点ξ∈(-1, 1)，使得f'(ξ)=0。
（3）因此，f'(ξ)=ξ^2-1=0，解得ξ=±1。由于ξ∈(-1, 1)，因此ξ=1。
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